Cấp số cộng, cấp số nhân

Mức độ: Cơ bản

Nhiều bài thi đưa ra một dãy số “cứ tăng đều” hoặc “cứ gấp lên” rồi hỏi số hạng thứ 2026, tổng của 10¹⁸ số hạng đầu… Cộng dần bằng vòng lặp thì quá chậm khi n lớn. Bài này cho các bạn công thức để tính ngay.

Cấp số cộng

Cấp số cộng là dãy mà hai số liền nhau luôn hơn kém nhau cùng một số d (gọi là công sai). Ví dụ 3, 7, 11, 15, … có d = 4.

Số hạng thứ n: từ số đầu a₁, đi thêm n - 1 bước, mỗi bước cộng d:

a_n = a₁ + (n - 1) × d

Số hạng thứ 2026 của dãy 3, 7, 11, … là 3 + 2025 × 4 = 8103.

Số số hạng: dãy từ a đến b, bước d, có (b - a) / d + 1 số. Ví dụ 7, 10, 13, …, 2026 có 2019 / 3 + 1 = 674 số. Lưu ý cộng 1: từ 1 đến 10 có 10 số chứ không phải 9 (bài toán “trồng cây” quen thuộc).

Tổng n số hạng: ghép số đầu với số cuối, số thứ hai với số áp cuối… Mỗi cặp có tổng bằng a₁ + a_n, có n / 2 cặp:

S_n = n × (a₁ + a_n) / 2

Cặp	1 + 100	2 + 99	3 + 98	…	50 + 51
Tổng	101	101	101	…	101

1 + 2 + … + 100 = 50 cặp × 101 = 5050.

Python
C++

a1, d, n = 3, 4, 2026
an = a1 + (n - 1) * d
tong = n * (a1 + an) // 2       # n * (a1 + an) luôn chẵn
print(an, tong)                 # 8103 8211378

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    long long a1 = 3, d = 4, n = 2026;
    long long an = a1 + (n - 1) * d;
    long long tong = n * (a1 + an) / 2;   // n * (a1 + an) luôn chẵn
    cout << an << " " << tong << endl;    // 8103 8211378
    return 0;
}

Lưu ý: n × (a₁ + a_n) luôn là số chẵn (vì a₁ + a_n = 2a₁ + (n - 1)d, nếu n lẻ thì n - 1 chẵn), nên chia 2 không bị mất phần lẻ. Nhưng với n tới 10⁹, tích có thể vượt long long: khi đó chia 2 trước cho thừa số chẵn (như bài tổng từ 1 đến n).

Cấp số nhân

Cấp số nhân là dãy mà mỗi số bằng số trước nhân với cùng một số q (gọi là công bội). Ví dụ 3, 6, 12, 24, … có q = 2.

Số hạng thứ n: a_n = a₁ × q^{n - 1}.
Tổng n số hạng (q khác 1): S_n = a₁ × (qⁿ - 1) / (q - 1).

Vì sao? Viết S = 1 + 2 + 4 + … + 2^{n - 1}. Nhân đôi: 2S = 2 + 4 + … + 2ⁿ. Trừ hai dòng, hầu hết các số triệt tiêu: 2S - S = 2ⁿ - 1.

Cấp số nhân tăng rất nhanh: 2⁶⁰ đã vượt 10¹⁸. Vì vậy:

Hỏi “sau bao nhiêu bước thì vượt n” chỉ cần vòng lặp khoảng 60 lần.
Hỏi số hạng thứ 10¹⁸ thì phải lấy dư và dùng lũy thừa nhanh.

Một số tổng hay gặp

Tổng	Công thức	n = 10
1 + 2 + … + n	n(n + 1) / 2	55
1 + 3 + 5 + … + (2n - 1)	n²	100
1² + 2² + … + n²	n(n + 1)(2n + 1) / 6	385
1³ + 2³ + … + n³	[n(n + 1) / 2]²	3025
1 × 2 + 2 × 3 + … + n(n + 1)	n(n + 1)(n + 2) / 3	440

Không cần học thuộc: khi quên, viết vòng lặp tính với n nhỏ để kiểm tra công thức.

Luyện tập

Gồm 24 bài, chia thành 4 nhóm từ dễ đến khó. Mỗi bài có một dữ liệu kiểm tra: các bạn chạy chương trình của mình với dữ liệu đó rồi so với đáp số.

Nhóm 1. Cấp số cộng

Bài 1. Số hạng thứ n

Cấp số cộng có số hạng đầu a, công sai d (|a|, |d| ≤ 10⁹). Nhập a, d, n (n ≤ 10⁹), in ra số hạng thứ n.

Ví dụ: nhập 3 4 5 thì in ra 19.

Kiểm tra: nhập 3 4 2026.

Xem đáp số

8103

Hướng dẫn giải chi tiết: liên hệ tác giả.

Bài 2. Tổng n số hạng

Cấp số cộng có số hạng đầu a, công sai d (0 ≤ a, d ≤ 10³). Nhập a, d, n (n ≤ 10⁹), in ra tổng n số hạng đầu.

Ví dụ: nhập 1 1 100 thì in ra 5050.

Kiểm tra: nhập 1 1 1000000000.

Xem đáp số

500000000500000000

Hướng dẫn giải chi tiết: liên hệ tác giả.

Bài 3. Đếm số hạng

Dãy a, a + d, a + 2d, …, b (d ≥ 1, b - a chia hết cho d, các số ≤ 10¹⁸). Nhập a, b, d, in ra số số hạng của dãy.

Ví dụ: nhập 1 10 1 thì in ra 10.

Kiểm tra: nhập 7 2026 3.

Xem đáp số

674

Hướng dẫn giải chi tiết: liên hệ tác giả.

Bài 4. Tổng các số lẻ

Nhập n (n ≤ 10⁹). In ra tổng n số lẻ đầu tiên 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1).

Ví dụ: nhập 4 thì in ra 16.

Kiểm tra: nhập 2026.

Xem đáp số

4104676

Hướng dẫn giải chi tiết: liên hệ tác giả.

Bài 5. Tổng các bội số trong đoạn

Nhập a, b, k (1 ≤ a ≤ b ≤ 10⁹, k ≤ 10⁹). In ra tổng các số chia hết cho k trong đoạn từ a đến b (in 0 nếu không có số nào).

Ví dụ: nhập 10 99 3 thì in ra 1665.

Kiểm tra: nhập 1 1000000000 7.

Xem đáp số

71428571071428571

Hướng dẫn giải chi tiết: liên hệ tác giả.

Bài 6. Số chữ số để đánh số trang

Quyển sách có n trang (n ≤ 10¹⁷), đánh số từ 1. Cần viết tất cả bao nhiêu chữ số?

Ví dụ: nhập 100 thì in ra 192.

Kiểm tra: nhập 2026.

Xem đáp số

6997

Hướng dẫn giải chi tiết: liên hệ tác giả.

Bài 7. Chữ số thứ k

Viết liền các số tự nhiên 1, 2, 3, … thành dãy 123456789101112131415… Nhập k (k ≤ 10¹⁸), in ra chữ số thứ k của dãy.

Ví dụ: nhập 11 thì in ra 0.

Kiểm tra: nhập 2026.

Xem đáp số

7

Hướng dẫn giải chi tiết: liên hệ tác giả.

Nhóm 2. Cấp số nhân

Bài 8. Số hạng thứ n của cấp số nhân

Cấp số nhân có số hạng đầu a, công bội q (a, q ≤ 10⁹). Nhập a, q, n (n ≤ 10¹⁸), in ra số hạng thứ n chia lấy dư cho 10⁹ + 7.

Ví dụ: nhập 3 2 5 thì in ra 48.

Kiểm tra: nhập 3 2 1000000000000000000.

Xem đáp số

79214383

Hướng dẫn giải chi tiết: liên hệ tác giả.

Bài 9. Tổng các lũy thừa của 2

Nhập n (1 ≤ n ≤ 62). In ra 1 + 2 + 4 + … + 2^{n - 1}.

Ví dụ: nhập 4 thì in ra 15.

Kiểm tra: nhập 62.

Xem đáp số

4611686018427387903

Hướng dẫn giải chi tiết: liên hệ tác giả.

Bài 10. Vi khuẩn nhân đôi

Ban đầu có 1 con vi khuẩn, cứ mỗi giờ số vi khuẩn gấp đôi. Nhập n (n ≤ 10¹⁸). Sau ít nhất bao nhiêu giờ thì số vi khuẩn lớn hơn hoặc bằng n?

Ví dụ: nhập 100 thì in ra 7.

Kiểm tra: nhập 1000000000000000000.

Xem đáp số

60

Hướng dẫn giải chi tiết: liên hệ tác giả.

Bài 11. Hạt gạo trên bàn cờ

Đặt 1 hạt gạo vào ô thứ nhất, 2 hạt vào ô thứ hai, 4 hạt vào ô thứ ba, … (mỗi ô gấp đôi ô trước). Nhập n (1 ≤ n ≤ 64), in ra tổng số hạt gạo trên n ô đầu.

Ví dụ: nhập 3 thì in ra 7.

Kiểm tra: nhập 64.

Xem đáp số

18446744073709551615

Hướng dẫn giải chi tiết: liên hệ tác giả.

Bài 12. Tổng cấp số nhân

Nhập a, q, n (1 ≤ a ≤ 100, 2 ≤ q ≤ 10, n ≤ 15). In ra tổng a + a × q + a × q² + … (n số hạng).

Ví dụ: nhập 1 3 4 thì in ra 40.

Kiểm tra: nhập 3 3 10.

Xem đáp số

88572

Hướng dẫn giải chi tiết: liên hệ tác giả.

Bài 13. Nhận dạng dãy số

Dòng đầu là n (3 ≤ n ≤ 10⁵). Dòng thứ hai có n số nguyên dương (≤ 10⁹). In ra CONG nếu dãy là cấp số cộng, NHAN nếu là cấp số nhân (công bội nguyên), CA HAI nếu là cả hai, KHONG nếu không phải cả hai.

Ví dụ:

Nhập	In ra
`4` `3 6 12 24`	`NHAN`

Kiểm tra: nhập

5
7 7 7 7 7

Xem đáp số

CA HAI

Hướng dẫn giải chi tiết: liên hệ tác giả.

Nhóm 3. Các tổng và dãy đặc biệt

Bài 14. Tổng bình phương

Nhập n (n ≤ 2 × 10⁶). In ra 1² + 2² + … + n².

Ví dụ: nhập 10 thì in ra 385.

Kiểm tra: nhập 1000000.

Xem đáp số

333333833333500000

Hướng dẫn giải chi tiết: liên hệ tác giả.

Bài 15. Tổng lập phương

Nhập n (n ≤ 10⁴). In ra 1³ + 2³ + … + n³.

Ví dụ: nhập 4 thì in ra 100.

Kiểm tra: nhập 10000.

Xem đáp số

2500500025000000

Hướng dẫn giải chi tiết: liên hệ tác giả.

Bài 16. Tổng các tích liền nhau

Nhập n (n ≤ 10⁶). In ra 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + … + n × (n + 1).

Ví dụ: nhập 3 thì in ra 20.

Kiểm tra: nhập 1000.

Xem đáp số

334334000

Hướng dẫn giải chi tiết: liên hệ tác giả.

Bài 17. Số tam giác

Số tam giác là các số 1, 3, 6, 10, 15, … (số thứ n bằng 1 + 2 + … + n). Nhập x (1 ≤ x ≤ 10¹⁸), in ra YES nếu x là số tam giác, ngược lại in ra NO.

Ví dụ: nhập 10 thì in ra YES.

Kiểm tra: nhập 2016.

Xem đáp số

YES

Hướng dẫn giải chi tiết: liên hệ tác giả.

Bài 18. Tháp số

Viết các số 1, 2, 3, … thành các hàng: hàng 1 có 1 số, hàng 2 có 2 số, hàng 3 có 3 số, … Nhập x (x ≤ 10¹⁸), in ra số thứ tự hàng chứa x và vị trí của x trong hàng (đều đếm từ 1).

Ví dụ: nhập 8 thì in ra 4 2.

Kiểm tra: nhập 2026.

Xem đáp số

64 10

Hướng dẫn giải chi tiết: liên hệ tác giả.

Bài 19. Dãy 1, 2, 2, 3, 3, 3, …

Dãy 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, … (số k xuất hiện k lần liên tiếp). Nhập n (n ≤ 10¹⁸), in ra số hạng thứ n.

Ví dụ: nhập 7 thì in ra 4.

Kiểm tra: nhập 2026.

Xem đáp số

64

Hướng dẫn giải chi tiết: liên hệ tác giả.

Nhóm 4. Bài toán thực tế

Bài 20. Xếp que diêm thành hàng ô vuông

Dùng que diêm xếp các ô vuông thành một hàng ngang, hai ô cạnh nhau chung một que. Có m que diêm (m ≤ 10¹⁸). Xếp được nhiều nhất bao nhiêu ô vuông?

Ví dụ: nhập 10 thì in ra 3.

Kiểm tra: nhập 2026.

Xem đáp số

675

Hướng dẫn giải chi tiết: liên hệ tác giả.

Bài 21. Que diêm cho lưới ô vuông

Dùng que diêm xếp một lưới n × n ô vuông (n ≤ 10⁹). Cần bao nhiêu que?

Ví dụ: nhập 1 thì in ra 4.

Kiểm tra: nhập 25.

Xem đáp số

1300

Hướng dẫn giải chi tiết: liên hệ tác giả.

Bài 22. Trồng cây

Đoạn đường dài L mét, trồng cây cách đều nhau d mét (L chia hết cho d, L, d ≤ 10¹⁸). Nhập L, d và loại t: t = 1 là đường thẳng trồng cả hai đầu, t = 2 là đường thẳng không trồng hai đầu, t = 3 là đường vòng quanh hồ. In ra số cây.

Ví dụ: nhập 100 10 1 thì in ra 11.

Kiểm tra: nhập 2026 2 3.

Xem đáp số

1013

Hướng dẫn giải chi tiết: liên hệ tác giả.

Bài 23. Leo cột

Một chú ốc leo cột cao h mét: ban ngày leo lên a mét, ban đêm tụt xuống b mét (b nhỏ hơn a, h, a, b ≤ 10¹⁸). Bắt đầu từ chân cột vào sáng ngày thứ nhất. Hỏi đến ngày thứ mấy ốc lên tới đỉnh cột?

Ví dụ: nhập 20 5 3 thì in ra 9.

Kiểm tra: nhập 100 7 2.

Xem đáp số

20

Hướng dẫn giải chi tiết: liên hệ tác giả.

Bài 24. Đồng hồ đánh chuông

Đồng hồ đánh chuông mỗi giờ đúng: lúc k giờ đánh k tiếng (theo đồng hồ 12 giờ, 12 giờ đánh 12 tiếng, 13 giờ đánh 1 tiếng). Nhập hai giờ a, b (0 ≤ a ≤ b ≤ 23, giờ trong ngày). In ra tổng số tiếng chuông từ a giờ đến b giờ (kể cả hai đầu).

Ví dụ: nhập 1 3 thì in ra 6.

Kiểm tra: nhập 0 23.

Xem đáp số

156

Hướng dẫn giải chi tiết: liên hệ tác giả.

Th.S Trần Huy Phúc

Kỹ sư phần mềm @Adnovum & Bumbii Academy

Học Tiếng Anh với Bumbii English