Cực trị có ràng buộc
“Nhiều nhất là bao nhiêu?”, “ít nhất là bao nhiêu?” là câu hỏi của khoảng 5,1% số câu trong đề Tin học trẻ Bảng M1, M2 năm 2025-2026. Một lời giải đầy đủ cho câu hỏi “nhiều nhất” luôn có hai phần:
- Không thể hơn: chứng tỏ giá trị không thể vượt quá một con số nào đó.
- Đạt được: chỉ ra một cách làm cụ thể đạt đúng con số đó.
Thiếu phần 1 thì có thể còn cách tốt hơn; thiếu phần 2 thì con số có thể không đạt được.
Dạng 1. Tổng cố định
Phần tiêu đề “Dạng 1. Tổng cố định”Chia 20 cái kẹo cho 4 bạn, mỗi bạn ít nhất 1 cái và không có hai bạn nào bằng nhau.
- Một bạn nhiều nhất được bao nhiêu? Ba bạn kia ít nhất 1, 2, 3 cái, nên bạn đó nhiều nhất 20 − (1 + 2 + 3) = 14 cái.
- Bạn nhiều nhất ít nhất được bao nhiêu? Chia càng đều càng tốt. Nếu bạn nhiều nhất có 6 thì tổng nhiều nhất là 6 + 5 + 4 + 3 = 18, chưa đủ 20. Có 7 thì được: 7, 6, 4, 3.
Lưu ý: “nhiều nhất” thì dồn về một chỗ, “lớn nhất mà nhỏ nhất” thì chia đều ra. Hai câu hỏi trông giống nhau nhưng cách làm ngược nhau.
Dạng 2. Số lớn nhất, nhỏ nhất theo chữ số
Phần tiêu đề “Dạng 2. Số lớn nhất, nhỏ nhất theo chữ số”- Số có nhiều chữ số hơn thì lớn hơn. Muốn số lớn nhất thì trước hết làm cho số có nhiều chữ số nhất; muốn số nhỏ nhất thì ít chữ số nhất.
- Cùng số chữ số: chọn từng chữ số từ trái sang, chữ số đầu lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) có thể, nhưng mỗi lần phải kiểm tra phần còn lại vẫn làm được.
Ví dụ số nhỏ nhất có tổng chữ số 30: 3 chữ số có tổng nhiều nhất 27, cần 4 chữ số. Chữ số đầu nhỏ nhất khi ba chữ số sau lớn nhất (9, 9, 9): chữ số đầu là 3. Số cần tìm là 3999.
Dạng 3. Đặt nhiều nhất, chọn nhiều nhất
Phần tiêu đề “Dạng 3. Đặt nhiều nhất, chọn nhiều nhất”Không thể hơn: chia lưới (hoặc tập số) thành các nhóm nhỏ, mỗi nhóm chứa được nhiều nhất k thứ. Có m nhóm thì nhiều nhất m × k.
Đạt được: chỉ ra cách đặt đủ k thứ vào mỗi nhóm mà không vi phạm điều kiện giữa các nhóm.
Ví dụ bàn 4 × 4 đặt quân vua không ăn nhau: chia thành 4 ô 2 × 2, mỗi ô nhiều nhất 1 quân, nên nhiều nhất 4 quân. Đặt ở 4 góc trên bên trái của mỗi ô 2 × 2 là được.
Với bài chọn số, nhóm theo số dư hoặc theo chuỗi (ví dụ chuỗi gấp đôi 1, 2, 4, 8, …) để các nhóm độc lập với nhau.
Dạng 4. Sắp xếp công việc
Phần tiêu đề “Dạng 4. Sắp xếp công việc”- Không để thời gian chết: làm song song nhiều việc nhất có thể (nướng bánh, qua cầu).
- Việc ngắn làm trước khi muốn tổng thời gian chờ của mọi người ít nhất.
- Ghép cặp: người nặng nhất (khó ghép nhất) đi với người nhẹ nhất có thể.
Ví dụ 3 bạn cần 1, 2, 3 phút dùng máy: xếp 1, 2, 3 thì các bạn xong lúc 1, 3, 6, tổng thời gian đợi 10 phút; xếp ngược 3, 2, 1 thì xong lúc 3, 5, 6, tổng 14 phút.
Dạng 5. Khi nào cách tham lam đúng
Phần tiêu đề “Dạng 5. Khi nào cách tham lam đúng”Cách tham lam là ở mỗi bước chọn cái tốt nhất trước mắt (đồng xu lớn nhất, chữ số lớn nhất). Cách này nhanh nhưng không phải lúc nào cũng đúng.
Ví dụ trả 6 đồng bằng xu loại 1, 3, 4: tham lam lấy 4 + 1 + 1 (3 đồng xu), nhưng 3 + 3 chỉ cần 2 đồng xu.
Lưu ý: khi số trường hợp ít, thử hết để chắc chắn. Khi số trường hợp nhiều, tính dần từ nhỏ đến lớn (ít đồng xu nhất cho 1 đồng, 2 đồng, 3 đồng, …), mỗi giá trị dựa vào các giá trị nhỏ hơn đã tính.
Luyện tập
Phần tiêu đề “Luyện tập”Gồm 22 bài, chia thành 5 nhóm từ dễ đến khó. Nhãn M1 là mức đề tiểu học, M2 là mức đề THCS. Mỗi bài có đáp số để các bạn tự kiểm tra sau khi làm.
Nhóm 1. Tổng cố định
Phần tiêu đề “Nhóm 1. Tổng cố định”Bài 1. Túi nhiều xu nhất (M1)
Phần tiêu đề “Bài 1. Túi nhiều xu nhất (M1)”Tùng cất đúng 50 đồng xu vào 6 cái túi, túi nào cũng có ít nhất 1 xu và không có hai túi nào có số xu bằng nhau. Túi nhiều xu nhất có nhiều nhất bao nhiêu xu?
Bài 2. Túi nhiều nhất mà ít nhất (M2)
Phần tiêu đề “Bài 2. Túi nhiều nhất mà ít nhất (M2)”Vẫn là 50 đồng xu, 6 túi, mỗi túi ít nhất 1 xu, không có hai túi bằng nhau. Túi nhiều xu nhất có ít nhất bao nhiêu xu?
Bài 3. Ba hộp táo (M2)
Phần tiêu đề “Bài 3. Ba hộp táo (M2)”Ba hộp T, H, M có tổng cộng 100 quả táo, không có hai hộp nào có số táo bằng nhau, và hộp M có nhiều táo nhất. Hộp M có ít nhất bao nhiêu quả táo?
Bài 4. Ngày đọc nhiều nhất (M1)
Phần tiêu đề “Bài 4. Ngày đọc nhiều nhất (M1)”Trong tháng 2 của một năm nhuận (29 ngày), ngày nào Mèo Con cũng đọc ít nhất 3 trang sách. Cả tháng Mèo Con đọc đúng 100 trang. Có một ngày Mèo Con đọc nhiều nhất. Ngày đó đọc nhiều nhất bao nhiêu trang?
Bài 5. Mỗi ngày nhiều hơn hôm trước (M2)
Phần tiêu đề “Bài 5. Mỗi ngày nhiều hơn hôm trước (M2)”Sóc nhặt hạt dẻ trong 10 ngày, mỗi ngày nhặt được ít nhất 1 hạt và ngày sau luôn nhặt nhiều hơn ngày trước. Tổng cộng Sóc nhặt được 100 hạt. Ngày cuối cùng Sóc nhặt được ít nhất bao nhiêu hạt?
Nhóm 2. Số lớn nhất, nhỏ nhất theo chữ số
Phần tiêu đề “Nhóm 2. Số lớn nhất, nhỏ nhất theo chữ số”Bài 6. Số lớn nhất có các chữ số khác nhau (M1)
Phần tiêu đề “Bài 6. Số lớn nhất có các chữ số khác nhau (M1)”Tìm số lớn nhất có các chữ số khác nhau và tổng các chữ số bằng 20.
Bài 7. Mật khẩu lớn nhất (M2)
Phần tiêu đề “Bài 7. Mật khẩu lớn nhất (M2)”Minh đặt mật khẩu là một số có đúng 8 chữ số, tổng các chữ số bằng 30, và không có hai chữ số liền nhau nào giống nhau. Mật khẩu lớn nhất có thể là số nào?
Bài 8. Số chẵn nhỏ nhất có tổng chữ số 40 (M1)
Phần tiêu đề “Bài 8. Số chẵn nhỏ nhất có tổng chữ số 40 (M1)”Tìm số chẵn nhỏ nhất có tổng các chữ số bằng 40.
Bài 9. Xóa chữ số để được số lớn nhất (M2)
Phần tiêu đề “Bài 9. Xóa chữ số để được số lớn nhất (M2)”Viết liền các số từ 1 đến 15 được số 123456789101112131415. Xóa đi đúng 10 chữ số (giữ nguyên thứ tự các chữ số còn lại) để được số lớn nhất. Số đó là số nào?
Nhóm 3. Đặt, chọn nhiều nhất
Phần tiêu đề “Nhóm 3. Đặt, chọn nhiều nhất”Bài 10. Quân vua không ăn nhau (M1)
Phần tiêu đề “Bài 10. Quân vua không ăn nhau (M1)”Quân vua trên bàn cờ ăn được quân ở các ô kề nó (kể cả kề theo đường chéo). Đặt được nhiều nhất bao nhiêu quân vua trên bàn cờ 8 × 8 sao cho không có hai quân nào ăn được nhau?
Bài 11. Ngôi sao trên lưới 4 × 4 (M2)
Phần tiêu đề “Bài 11. Ngôi sao trên lưới 4 × 4 (M2)”Nam vẽ ngôi sao vào các ô của lưới 4 × 4 (mỗi ô nhiều nhất một ngôi sao) sao cho mỗi hàng và mỗi cột có nhiều nhất 2 ngôi sao, và không có hai ngôi sao nào ở hai ô kề cạnh nhau. Nam vẽ được nhiều nhất bao nhiêu ngôi sao?
Bài 12. Tô đen mà không có hình vuông 2 × 2 (M2)
Phần tiêu đề “Bài 12. Tô đen mà không có hình vuông 2 × 2 (M2)”Tô đen một số ô của bảng 4 × 4 sao cho không có hình vuông 2 × 2 nào (gồm 4 ô kề nhau) bị tô đen cả 4 ô. Tô được nhiều nhất bao nhiêu ô?
Bài 13. Không có số gấp đôi số khác (M2)
Phần tiêu đề “Bài 13. Không có số gấp đôi số khác (M2)”Chọn được nhiều nhất bao nhiêu số trong các số 1, 2, 3, …, 20 sao cho không có hai số nào mà số này gấp đôi số kia?
Bài 14. Tổng không chia hết cho 5 (M2)
Phần tiêu đề “Bài 14. Tổng không chia hết cho 5 (M2)”Chọn được nhiều nhất bao nhiêu số trong các số 1, 2, …, 30 sao cho tổng của hai số bất kỳ đã chọn đều không chia hết cho 5?
Nhóm 4. Sắp xếp công việc
Phần tiêu đề “Nhóm 4. Sắp xếp công việc”Bài 15. Nướng bánh (M1)
Phần tiêu đề “Bài 15. Nướng bánh (M1)”Chảo nướng được nhiều nhất 2 chiếc bánh cùng lúc. Mỗi chiếc bánh phải nướng cả hai mặt, mỗi mặt mất đúng 1 phút. Nướng xong 5 chiếc bánh mất ít nhất bao nhiêu phút?
Bài 16. Hai rô-bốt trên dây chuyền (M2)
Phần tiêu đề “Bài 16. Hai rô-bốt trên dây chuyền (M2)”Có 4 sản phẩm. Mỗi sản phẩm phải qua rô-bốt A lắp ráp trước, rồi mới qua rô-bốt B sơn. Mỗi rô-bốt làm một sản phẩm một lúc, thứ tự làm của hai rô-bốt giống nhau.
| Sản phẩm | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| Lắp ráp (phút) | 5 | 2 | 6 | 3 |
| Sơn (phút) | 4 | 6 | 1 | 5 |
Hoàn thành cả 4 sản phẩm mất ít nhất bao nhiêu phút?
Bài 17. Chèo thuyền qua sông (M2)
Phần tiêu đề “Bài 17. Chèo thuyền qua sông (M2)”Có 8 bạn nặng lần lượt 45, 50, 55, 60, 30, 70, 40, 65 kg cần qua sông. Mỗi thuyền chở nhiều nhất 2 bạn và tổng cân nặng không quá 100 kg. Cần ít nhất bao nhiêu chiếc thuyền?
Bài 18. Xếp lượt dùng máy (M1)
Phần tiêu đề “Bài 18. Xếp lượt dùng máy (M1)”5 bạn cần dùng một máy in, mỗi lần chỉ một bạn dùng. Thời gian mỗi bạn cần lần lượt là 3, 1, 4, 2, 5 phút. Mỗi bạn phải đợi từ lúc bắt đầu cho đến khi mình in xong. Hãy xếp thứ tự để tổng thời gian đợi của 5 bạn ít nhất. Tổng đó là bao nhiêu phút?
Nhóm 5. Tiền, mua sắm và bước đi
Phần tiêu đề “Nhóm 5. Tiền, mua sắm và bước đi”Bài 19. Ít đồng xu nhất (M1)
Phần tiêu đề “Bài 19. Ít đồng xu nhất (M1)”Có rất nhiều đồng xu loại 1, 2, 5 và 10 đồng. Cần ít nhất bao nhiêu đồng xu để trả đúng 37 đồng?
Bài 20. Khi lấy đồng lớn nhất trước bị sai (M2)
Phần tiêu đề “Bài 20. Khi lấy đồng lớn nhất trước bị sai (M2)”Ở một xứ chỉ có đồng xu loại 1, 3 và 4 đồng. Cần ít nhất bao nhiêu đồng xu để trả đúng 6 đồng?
Bài 21. Mua 3 tặng 1 (M2)
Phần tiêu đề “Bài 21. Mua 3 tặng 1 (M2)”Cửa hàng khuyến mãi: cứ mỗi nhóm 3 món hàng thanh toán cùng lúc thì được miễn tiền món rẻ nhất trong nhóm. Lan mua 9 món giá 1, 2, 3, …, 9 nghìn đồng và được tự chia thành 3 nhóm. Lan phải trả ít nhất bao nhiêu nghìn đồng?
Bài 22. Leo cầu thang (M2)
Phần tiêu đề “Bài 22. Leo cầu thang (M2)”Bi leo cầu thang 10 bậc, mỗi bước lên 1 bậc hoặc 2 bậc, nhưng không được bước 2 bậc hai lần liền nhau. Bi cần ít nhất bao nhiêu bước để lên đúng bậc 10?
© 2026 Bumbii Academy. Toàn bộ nội dung thuộc bản quyền của Bumbii Academy, nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức khi chưa được cho phép.