Bảng M2 2026 - Vòng khu vực miền Nam

HỘI THI TIN HỌC TRẺ TOÀN QUỐC Lần thứ XXXII - Năm 2026

ĐỀ THI BẢNG M2 – THCS VÒNG KHU VỰC MIỀN NAM Toán tư duy và Tư duy thuật toán
Thời gian làm bài: 120 phút (20 câu hỏi)

Tổng quan bài thi

Đề gồm 20 câu hỏi, mỗi câu 5 điểm (tổng 100 điểm), làm bài trực tuyến trong 120 phút. Các kiểu câu hỏi: trả lời ngắn – điền đáp số (câu 1, 3, 6, 7, 9, 14, 15, 17, 20); điền vào chỗ trống – điền nhiều ô (câu 2, 4, 5, 8, 10, 11, 12, 13, 16, 18, 19).

Câu 1

Hàng đợi ưu tiên là một cấu trúc dữ liệu thường dùng trong khoa học máy tính. Trong bài toán này, ta xét hàng đợi có ba thao tác chính:

add(x): thêm số x vào hàng đợi.
top(): lấy ra giá trị nhỏ nhất hiện có trong hàng đợi, chỉ thực hiện được nếu hàng đợi có ít nhất một phần tử.
pop(): xoá giá trị nhỏ nhất ra khỏi hàng đợi, chỉ thực hiện được nếu hàng đợi có ít nhất một phần tử.

Thầy giáo viết lên bảng 8 số 18, 7, 12, 25, 9, 30, 16, 11. Ban đầu hàng đợi rỗng; thầy lần lượt dùng các thao tác add(x) để thêm các số vào hàng đợi.

Sau đó, thầy đặt S = 0, rồi lặp lại quá trình dưới đây cho đến khi hàng đợi chỉ còn đúng một số:

Gọi x = top(), sau đó dùng thao tác pop() để xoá x.
Gọi y = top(), sau đó dùng thao tác pop() để xoá y.
Tăng S lên x + y đơn vị.
Dùng add(x + y) để thêm số x + y vào hàng đợi.

Biết rằng mọi thao tác đều hợp lệ. Hỏi sau khi quá trình kết thúc thì giá trị của S là bao nhiêu?

Giá trị cuối cùng của S là ……

Câu 2

Một đội robot được giao 8 nhiệm vụ, kí hiệu tương ứng bởi các chữ cái từ A đến H. Trong đó, có một số nhiệm vụ kèm ràng buộc chỉ được thực hiện sau khi đã hoàn thành một số nhiệm vụ khác trước đó (gọi là nhiệm vụ tiên quyết). Bảng dưới đây cho biết thông tin về các nhiệm vụ đó:

Bảng 8 nhiệm vụ: A 1 phút (không có tiên quyết); B 1 phút, cần A; C 5 phút, cần A; D 2 phút, cần B; E 7 phút, cần B và C; F 8 phút, cần C; G 2 phút, cần D và E; H 1 phút, cần F và G

Trong đội có nhiều robot nên các việc có thể làm song song, miễn là đảm bảo theo đúng quy tắc.

Hỏi:

a) Thời gian ít nhất để hoàn thành cả 8 nhiệm vụ đó là bao nhiêu phút?

b) Nếu đội robot được chọn bỏ bớt 1 nhiệm vụ nào đó thì thời gian ít nhất để hoàn thành 7 nhiệm vụ còn lại là bao nhiêu phút? (Lưu ý rằng khi bỏ đi một nhiệm vụ thì các điều kiện tiên quyết tương ứng cũng được gỡ bỏ theo)

a) Thời gian ít nhất là ……(1)…… phút.

b) Thời gian ít nhất là ……(2)…… phút.

Câu 3

Có thể cắt được nhiều nhất bao nhiêu dải có kích thước 1 × 5 ô vuông từ một tờ giấy kẻ caro hình vuông kích thước 8 × 8 ô?

Nhiều nhất ……

Câu 4

Nam thử thách Mai di chuyển một quân cờ từ ô xuất phát A đến ô đích B trên một bàn cờ đặc biệt như hình dưới đây. Ở mỗi bước, quân cờ có thể di chuyển sang một ô liền kề theo chiều ngang, dọc hoặc chéo (có chung ít nhất một đỉnh với ô hiện tại).

Bàn cờ đặc biệt hình chữ V: hàng trên cùng 7 ô (ô B ở góc phải), hai bên có các ô đi xuống, ô A ở bên trái, đáy có 3 ô

Nam tặng cho Mai số điểm ban đầu là 50 điểm. Tuy nhiên, điểm sẽ bị trừ tùy theo cách quân cờ di chuyển:

Mỗi bước di chuyển ngang hoặc dọc, Mai bị trừ 2 điểm.
Mỗi bước di chuyển chéo, Mai bị trừ 3 điểm.

Biết rằng Mai chỉ đi qua mỗi ô nhiều nhất một lần và điểm số khi dừng lại ở B là một số dương. Hỏi, số điểm của Mai khi dừng lại có thể lớn nhất và nhỏ nhất là bao nhiêu?

Lớn nhất là ……(1)…… điểm và Nhỏ nhất là ……(2)…… điểm.

Câu 5

An, Bình và Cường chơi bóng bàn theo luật “người thắng ở lại”: mỗi ván hai người chơi, người thứ ba đứng chờ; người thua rời sân và người đang chờ vào chơi ở ván tiếp theo.

Biết rằng:

Tổng cộng, An đã chơi 18 ván, Bình đã chơi 10 ván, Cường đã chơi 14 ván.
Cường là người đã thắng ván cuối cùng trước khi cả ba bạn kết thúc.

Hỏi mỗi bạn đã thắng tổng cộng bao nhiêu ván?

An thắng ……(1)…… ván; Bình thắng ……(2)…… ván; Cường thắng ……(3)…… ván.

Câu 6

Trong khu vui chơi có ba loại xu màu xanh, đỏ và vàng.

Ban đầu, bạn Minh chỉ có các xu xanh. Bạn ấy đi đến quầy đổi quà và thấy có ba quy tắc như sau:

Đổi 5 xu xanh → Nhận 3 xu đỏ và 1 viên kẹo.
Đổi 2 xu đỏ → Nhận 5 xu vàng và 1 viên kẹo.
Đổi 3 xu vàng → Nhận 1 xu xanh và 1 viên kẹo.

Sau một lúc đổi quà, Minh có 50 viên kẹo và còn lại toàn là xu xanh. Hỏi số xu xanh lúc này ít hơn lúc ban đầu là bao nhiêu xu?

Số xu xanh lúc này ít hơn ban đầu ……

Câu 7

Trong trò chơi di động Gem Cloner, kho báu của bạn ban đầu có đúng 1 viên kim cương. Có hai nút bấm phép thuật trên màn hình có thể nhấn theo thứ tự tùy ý:

Nút C (Copy): Game ghi nhớ (sao chép) đúng số lượng kim cương hiện tại trong kho. (Số kim cương trong kho không đổi.)
Nút P (Paste): Game cộng thêm (dán) vào kho một số lượng kim cương đúng bằng số lượng vừa được ghi nhớ gần nhất.

Rương huyền thoại “Kho 2026” sẽ mở khoá khi và chỉ khi kho chứa đúng 2026 viên kim cương - không thừa, không thiếu một viên nào. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu lần nhấn nút để mở khoá phần thưởng này?

Màn hình trò chơi Gem Cloner có hai nút C (sao chép) và P (dán), góc trên ghi số kim cương trên 2026

Cần ít nhất ……

Câu 8

Nam dùng một bàn phím hình vuông 3× 3 để nhập mật khẩu gồm 4 chữ số khác nhau.

Một kẻ tinh nghịch xoay bàn phím --- nhưng Nam không chắc đó là 1/4 vòng (90°), nửa vòng (180°), hay 3/4 vòng (270°), đều ngược chiều kim đồng hồ. Bốn bàn phím dưới đây cho thấy các chữ số sau mỗi lần xoay (hình minh hoạ các vị trí tương đối, bỏ qua việc cách nhìn các chữ số bị thay đổi sau khi xoay).

Bốn bàn phím 3 × 3: ban đầu 1 2 3 / 4 5 6 / 7 8 9; xoay 90°: 3 6 9 / 2 5 8 / 1 4 7; xoay 180°: 9 8 7 / 6 5 4 / 3 2 1; xoay 270°: 7 4 1 / 8 5 2 / 9 6 3

Vì không để ý nên Nam vẫn bấm đúng các vị trí vật lý như mọi khi. Lúc đó, máy nhận được mật khẩu 4 chữ số mới và đó là một số lớn hơn mật khẩu cũ. Ví dụ, sau nửa vòng, mật khẩu cũ 1357 trở thành 9753, ta có hiệu là 9753-1357=8396.

Xét tất cả các khả năng, hiệu số (mới - cũ) có thể nhỏ nhất và lớn nhất là bao nhiêu?

Nhỏ nhất là ……(1)…… và Lớn nhất là ……(2)…….

Câu 9

Tùng có 5 chiếc ô tô đỏ giống hệt nhau và 5 chiếc ô tô xanh giống hệt nhau. Bạn ấy xếp cả 10 chiếc thành một hàng ngang, sao cho thoả mãn đồng thời hai điều kiện:

Với bất kì hai chiếc ô tô đỏ liên tiếp nào (tức hai chiếc xe đỏ mà giữa chúng không có chiếc màu đỏ nào khác), số chiếc ô tô xanh nằm giữa chúng không lớn hơn 2.
Với bất kì hai chiếc ô tô xanh liên tiếp nào (tức hai chiếc xe xanh mà giữa chúng không có chiếc màu xanh nào khác), số chiếc ô tô đỏ nằm giữa chúng không lớn hơn 2.

Tùng quan tâm đến thứ tự những chiếc xe từ trái qua phải, nên hai cách xếp là ảnh gương của nhau vẫn được coi là hai cách khác nhau (như minh hoạ dưới đây).

Ví dụ hai cách xếp khác nhau của ba chiếc xe: Cách 1 đỏ – xanh – xanh, Cách 2 xanh – xanh – đỏ

Hỏi Tùng có bao nhiêu cách khác nhau để xếp 10 chiếc xe theo quy tắc của mình?

Có ……

Câu 10

An làm một chiếc đèn ông sao với 10 bóng đèn ở 10 góc, đánh số từ 0 đến 9, mỗi số xuất hiện đúng một lần. An nối một vài cặp bóng đèn theo hai quy tắc:

Dây có mũi tên: nếu hai số hơn kém nhau ít nhất 2 đơn vị thì An gắn một dây có mũi tên đi từ số bé đến số lớn.
Thanh tre thẳng: nếu hai số chỉ hơn kém nhau 1 đơn vị thì An nối hai bóng đèn bằng một thanh tre.

Hình minh hoạ cho thấy hai ví dụ về hai quy tắc đó.

Không may, có một cơn mưa đã làm trôi mất hết các con số. Bây giờ chỉ còn lại những sợi dây và thanh tre như hình bên dưới.

Ví dụ: 4 nối mũi tên sang 7 (hơn kém ít nhất 2: mũi tên từ bé đến lớn), 6 nối thanh tre với 7 (hơn kém 1). Đèn ông sao năm cánh với 10 bóng, 5 bóng vàng (hai đỉnh ngang trái phải, hai bóng trong phía trên, đỉnh dưới bên trái) và 5 bóng xám

Hỏi 5 số nào được ghi trên 5 bóng đèn màu vàng lúc ban đầu?

Hướng dẫn ghi câu trả lời: điền 5 số theo thứ tự từ bé tới lớn.

……(1)……, ……(2)……, ……(3)……, ……(4)……, ……(5)……

Câu 11

Trong trò chơi “Họa sĩ Giải mã”, bốn bạn An, Bình, Vinh và Dũng cùng trang trí các bảng lưới 4 × 4.

Biết rằng:

An và Bình tự do tô màu vào một số ô trên bảng của mình.
Vinh là một “chuyên gia lấp chỗ trống”: bạn ấy chỉ tô màu vào những ô mà cả An và Bình đều không tô.
Dũng cũng vậy, bạn ấy chỉ tô màu vào những ô mà cả Bình và Vinh đều không tô.

Bốn tấm bảng sau khi vẽ xong bị xáo trộn thứ tự thành 1, 2, 3, 4 (như hình dưới).

Bốn bảng 4 × 4: bảng 1 tô 3 ô, bảng 2 tô 8 ô, bảng 3 tô 5 ô, bảng 4 tô 8 ô

Hỏi mỗi bạn trong nhóm bốn bạn đó đã tạo ra bảng nào?

An: ……(1)……, Bình: ……(2)……, Vinh: ……(3)……, Dũng: ……(4)…….

Câu 12

Nam có một đèn LED dán tường hình tam giác lớn, ghép từ 9 tấm tam giác nhỏ. Trong mỗi tấm có hiển thị một con số chỉ độ sáng hiện tại của nó.

Đèn tam giác lớn ghép từ 9 tam giác nhỏ với độ sáng: hàng trên 7; hàng giữa 9, 15, 11; hàng dưới 2, 6, ?, 10, 1; các nút bấm ở 10 điểm nối

Ở mỗi điểm nối giữa các tấm có một nút bấm, hoạt động theo quy tắc: Khi bấm một nút nào đó, độ sáng của tất cả các tấm chạm vào nút đó đều tăng thêm 1 đơn vị.

Nam muốn ấn các nút để cả 9 tấm đều đạt cùng một độ sáng giống hệt nhau.

Hỏi:

a) Dấu chấm hỏi (?) phải là số mấy để Nam làm được điều đó?

b) Với giá trị thoả mãn nói trên, Nam cần bấm nút ít nhất bao nhiêu lần?

a) Số ……(1)…….

b) Cần bấm nút ít nhất ……(2)…… lần.

Câu 13

Bình đang chơi một trò chơi xếp khối. Các khối được xếp thành một bậc thang có mặt trên và mặt trái bằng phẳng. Biết rằng:

Toàn bộ hình có 10 hàng ngang.
Hàng ngang trên cùng là hàng dài nhất, chứa đúng 10 khối. Hàng ngay bên dưới nó có 9 khối; và cứ ngắn dần cho đến hàng dưới cùng chỉ có 1 khối.
Trên mỗi khối vuông có một hình vẽ khác nhau để Bình có thể theo dõi vị trí của chúng.

Trò chơi có hai nút bấm. Mỗi lần bấm, trò chơi lấy toàn bộ hàng trên cùng, dựng đứng nó lên thành một cột dọc rồi dán vào mép bên trái. Sau đó các khối tự động dồn lại để tạo thành đúng hình dáng bậc thang như lúc ban đầu.

Nút A (Xoay Trái): Hàng trên cùng được xoay sang trái 90 độ (ngược chiều kim đồng hồ).
Nút B (Xoay Phải): Hàng trên cùng được xoay sang phải 90 độ (cùng chiều kim đồng hồ).

Hình dưới đây minh hoạ cách hoạt động của hai nút bấm tương ứng với trường hợp chỉ có 5 hàng.

Minh hoạ hai thao tác với bậc thang 5 hàng: thao tác A xoay hàng trên cùng 1 2 3 4 5 thành cột bên trái với 5 ở trên cùng; thao tác B xoay thành cột với 1 ở trên cùng

Hỏi nếu Bình chỉ bấm liên tục một nút duy nhất thì bạn ấy cần bấm ít nhất bao nhiêu lần cho đến khi tất cả các khối cùng lúc trở về đúng vị trí lần đầu tiên?

Nếu chỉ bấm nút A thì cần ít nhất ……(1)…… lần.

Nếu chỉ bấm nút B thì cần ít nhất ……(2)…… lần.

Câu 14

Nam có một xấp gồm 36 thẻ từ vựng. Thẻ nằm trên cùng là từ vựng bạn ấy thích nhất. Mỗi lần, bạn ấy trộn xấp thẻ theo các bước sau:

Đầu tiên, chia xấp thẻ làm hai nửa bằng nhau (mỗi nửa có 18 thẻ).
Sau đó, tạo một xấp mới bằng cách thả lần lượt từng thẻ một, luân phiên (xen kẽ) lấy từ dưới cùng của hai nửa.

Lưu ý rằng Nam được quyền chọn nửa nào thả thẻ xuống trước.

Hỏi Nam cần trộn ít nhất bao nhiêu lần như thế để thẻ từ vựng yêu thích nhất được chuyển xuống vị trí dưới cùng?

Cần trộn ít nhất ……

Câu 15

Một trại hè chào đón 100 học sinh. Ban tổ chức biết rằng các em thuộc 3 câu lạc bộ khác nhau (Cờ vua, Mỹ thuật và Thể thao). Mỗi phòng ở trại hè chỉ xếp được tối đa 3 học sinh. Hơn nữa, các học sinh chung phòng phải cùng giới tính (Nam hoặc Nữ) và cùng câu lạc bộ. Ban tổ chức cần chuẩn bị ít nhất bao nhiêu phòng để chắc chắn sắp xếp được chỗ ở cho tất cả các em, bất kể số lượng nam, nữ và thành viên mỗi câu lạc bộ cụ thể là bao nhiêu?

Cần chuẩn bị ít nhất ……

Câu 16

Nam đang thiết kế một chiếc cửa sổ kính màu hình tam giác được ghép từ 16 ô kính tam giác nhỏ.

Cửa sổ tam giác ghép từ 16 ô tam giác nhỏ; nhìn từ một cạnh, các ô xếp thành 4 dải song song với cạnh đó gồm 1, 3, 5 và 7 ô

Nam muốn viết lên mỗi ô kính một số tự nhiên (1, 2, 3, …) đảm bảo các điều kiện thiết kế như sau:

Nhìn từ bất kỳ mép ngoài nào của cửa sổ, ta đều thấy các ô kính được xếp thành 4 “dải” (lần lượt chứa 1, 3, 5 và 7 ô kính).
Tổng các số trong mỗi dải (có tất cả 12 dải) đều phải là một số nguyên tố.

Hỏi:

a) Tổng nhỏ nhất có thể của tất cả các số trên cửa sổ là bao nhiêu?

b) Nếu số trên mỗi ô đều nhỏ hơn 10 thì tổng lớn nhất có thể của tất cả các số trên cửa sổ là bao nhiêu?

a) Tổng nhỏ nhất có thể là ……(1)…….

b) Tổng lớn nhất có thể là ……(2)…….

Câu 17

Minh đã sáng tạo ra một quân cờ mới tên là “Siêu Tượng”. Một quân Siêu Tượng sẽ tấn công được một quân khác (gọi là X) nếu thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

Chúng nằm trên cùng một đường chéo và không có quân cờ nào nằm giữa chúng trong đường chéo đó.
Ô vuông nằm ngay sau lưng quân X (trên đường chéo) phải là ô trống.

Bàn cờ 8 × 8 có một số quân Siêu Tượng; ví dụ một quân tấn công dọc theo đường chéo, ô OK ở góc trên là ô trống ngay sau lưng quân bị tấn công

Hỏi có thể đặt nhiều nhất bao nhiêu quân Siêu Tượng lên bàn cờ 8 × 8 sao cho mỗi quân cờ đều bị ít nhất một quân khác tấn công?

Có thể đặt nhiều nhất ……

Câu 18

Mỗi quân domino bao gồm hai nửa, mỗi nửa là một hình vuông - có thể là để trống hoặc khắc số chấm từ 1 đến 6.

Người ta dùng trọn bộ 28 quân domino khác nhau (mọi {i,j}, 0≤ i≤ j≤ 6) để xếp thành một vòng khép kín, sao cho ở mỗi chỗ hai quân domino nối tiếp nhau thì hai nửa chạm nhau luôn có cùng số chấm. Sau đó, một số nửa bị xoá hết các chấm, như hình dưới đây.

28 quân domino xếp thành vòng hình vuông, nhiều nửa bị xoá trắng; quân màu vàng ở cạnh trên có hai nửa A và B

Hỏi lúc ban đầu, ở mỗi nửa A và B của quân domino màu vàng có bao nhiêu chấm?

A = ……(1)……, B = ……(2)……

Câu 19

Trên một hòn đảo nọ, mỗi cư dân có thể là kẻ nói dối - luôn nói sai hoặc là kẻ ranh mãnh - có thể nói đúng hoặc sai tuỳ lúc (tính cách của mỗi cư dân không thay đổi theo thời gian).

Một hôm, có 30 cư dân tham gia một cuộc họp và lần lượt phát biểu:

Người 1: “Trong chúng ta có ít hơn 1 kẻ ranh mãnh.”
Người 2: “Trong chúng ta có ít hơn 2 kẻ ranh mãnh.”
… cho tới …
Người 15: “Trong chúng ta có ít hơn 15 kẻ ranh mãnh.”
Người 16: “Trong chúng ta có nhiều hơn 1 kẻ ranh mãnh.”
Người 17: “Trong chúng ta có nhiều hơn 2 kẻ ranh mãnh.”
… cho tới …
Người 30: “Trong chúng ta có nhiều hơn 15 kẻ ranh mãnh.”

Hỏi trong cuộc họp đó có thể có ít nhất và nhiều nhất bao nhiêu kẻ nói dối?

Có thể có ít nhất là ……(1)…… và nhiều nhất là ……(2)…… kẻ nói dối.

Câu 20

Bác Hùng có một khu đất rộng hình đa giác lồi 12 cạnh, tại mỗi đỉnh có đặt sẵn 1 chiếc đèn lồng.

Khu đất hình 12 cạnh lồi, mỗi đỉnh có một đèn lồng

Bác muốn đặt thêm một số đèn lồng bên trong khu đất, sau đó chăng dây nối các đèn lại để chia khu đất thành các mảnh nhỏ hình tam giác nhằm chia cho các bác nông dân. Biết rằng, mỗi đèn lồng bên trong phải là đỉnh chung của ít nhất 6 mảnh đất hình tam giác.

Hỏi bác Hùng có thể tạo ra nhiều nhất bao nhiêu mảnh đất hình tam giác như vậy?

Nhiều nhất ……

Th.S Trần Huy Phúc

Kỹ sư phần mềm @Adnovum & Bumbii Academy

Học Tiếng Anh với Bumbii English